数学二次函数怎样才能学好?

二次函数是初中数学的重难点所在,在二次函数的学习中一般需要从以下几方面去掌握和学习:

一、二次函数的认识

一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。

数学二次函数怎样才能学好?
二次函数的一般式:

数学二次函数怎样才能学好?

在定义和一般式的理解上;需要注意以下几点:

1.等号左边是变量y,右边是关于自变量 x的整式;

2.a,b,c为常数,且a≠0;

3.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。

4.x的取值范围是任意实数

【典型例题】

数学二次函数怎样才能学好?

二、二次函数的三种表达式

求二次函数的表达式与求一次函数的方法相同:待定系数法。

因为在二次函数中有三个未知数,所以求二次函表达式一般需要图像上三个店的坐标。

数学二次函数怎样才能学好?

学习二次函数必选要学会求函数解析式。

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三、二次函数的图像与性质

二次函数的图像是抛物线

五个关键:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

1. y=ax²的图像与性质:

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2. y=ax²+k的图像与性质:

y=ax²+k的图像可以由y=ax²的图像上下平移得到:

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3. y=a(x-h)²的图像与性质:

y=a(x-h)²的图像可以由y=ax²的图像左右平移得到:

数学二次函数怎样才能学好?

4. y=a(x-h)²+k的图像与性质:

数学二次函数怎样才能学好?

5. y=ax²+bx+c的图像与性质:

数学二次函数怎样才能学好?

四、二次函数中a、b、c对函数图像的影响:

1、a的符号决定函数图像的开口方向

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2、c的符号决定函数图像与y轴交点的位置:
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3、a和b的符号共同决定对称轴的位置:

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4、b²-4ac的符号决定函数图像与y轴交点的位置

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5、其它

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看一道练习题:

数学二次函数怎样才能学好?

二次函数的知识点比较多,在学习中需要各个击破,先掌握基本的知识点,方法和性质,然后再去运用。


初中数学的二次函数内容,属中考常见的重要类型题,而且学生在处理这部分内容时,容易出错,经常由于很小的疏忽,导致整道题丢分。

函数对于初中生而言,既是知识重点,也是学习难点,学生在对函数知识的灵活运用方面还存在着一定的困难,但从发散学生思维与开发学生数学能力的角度看,在初中对学生的函数能力进行培养是很必要的。

以实战为例:

数学二次函数怎样才能学好?

这道题主要考查的是二次函数与二次方程等内容,该题考查的知识点属于初中数学的基础知识和核心内容。但学生在解题时,却极易出错,计算的结果不是OP=32,而是OP=83等其他错误答案。出现这种错误的原因,是学生没有理解和掌握比例的基本性质,平时也没有足够重视计算的问题。

正确答案应为:

数学二次函数怎样才能学好?

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数学二次函数怎样才能学好?

从这道题中,就可以看出学生平时做题的问题究竟出在哪里,要么是马虎粗心,要么是运算不认真,答题也不够规范。

所以,通过纠错,我们可以很好地细化二次函数这部分内容,做到再不犯错。

再举一例:

数学二次函数怎样才能学好?

学生在做这道题时,为何会出现错误的解答,原因是对称轴的表达式掌握模糊,不清晰,正解应该选D。

从以上两个例子可以看出,在生活实践中,同学们要不断地对函数进行探索,并且加入自己对函数的理解,通过对问题的提出,建立函数模型,达到求解的目的,实现数学探索能力的提升。生活中还有许许多多的问题值得我们去用函数的眼光看待,相信,通过这些易错题的纠正,以及对函数知识的强化,初中数学成绩得到很好的提升。

数学二次函数怎样才能学好?


数学二次函数怎样才能学好?
二次函数,这是整个初中数学最难部分,很多数学成绩很不错的学生,学习二次函数都感到很困难,主要原因是二次函数具有抽象性,学生要将一个二次函数解析式转换为一条抛物线,真的很难建立起联系。那么作为初中二次函数到底学生要掌握哪些知识?现在老师来分享一下教学所得。

(1)二次函数的定义

y=ax²+bx+c二次函数形式有一般形式和特殊形式,但不管如何必须保证最高次为2,二次项系数不为0,一次项和常数项不是必要条件。考试中对于二次函数的定义主要考二次项系数不等于零。

(2)对称轴

对称轴是二次函数非常重要的要素,学生一定要掌握对称轴公式得x=-b╱2a,根据二次函数一般形式,求出对称,有了对称轴可以解决很多二次函数问题。还可以根据抛物线与x轴交点坐标(x1,0),(x2,0),求对称性x=丨x1-x2丨╱2。

(3)系数的特殊意义

a是决定二次函数的开口方向,b与a同号决定对称轴居于对y轴左侧,异号居于右侧,c决定二次函数图象与y轴的交点。

(4)顶点坐标

二次函数顶点坐标(-b╱2a、4ac-b²╱4a),这是二次函数解决实际问题的关键。

(5)增减性

a大于0,对称轴左侧,y随x增大而减小,右侧则相反;a小于0,对称轴左侧y随x增大而增大,右侧则相反。实际学习中,学生容易出错在于只管a的正负,不管对称轴的左右侧,导致错误。

(6)二次函数三种形式

除一般形式,还有顶点式y=a(x-h)²+k,还有交点式y=a(x-x1)(x-x2),交点式中的x1和x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

(7)最值问题

任何一个二次函数都有最值,一般情况下当x=-b╱2a时,函数值最大(小)y=(4ac-b²)╱4a。这也是解决实际问题中未最值的通用方法。

(8)二次函数与一元二次方程的关联系

两者之间的联系主要体现在二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个解。Δ=0,一元二次方程有相等两个根,对应二次函数与x轴只有唯一交点;Δ<0,一元二次方程无解,对应二次函数与x轴无交点;Δ>0,一元二次方程有不相等两个实数根,对应二次函数与x轴有两个交点。

(9)用二次函数解决问题

对于用二次函数解决问题,关键是根据已经学过的基本数量关系建立二次函数解析式,这是重点也是难点,很多学生动不笔就是无法建立函数解析式。老师一定要教会学生首先去找问题中的基本数量关系:比如单价×数量=总价,每件利润×件数=总利润等等,再用含有自变量x的式子表达函数y。再就是最值求法,也是学生的难点。

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1、先认识二次函数的形式

概念:二次函数与二次函数的一般式从式子特征上理解,比如y=x²+x+1,y=2x²-3x+1,可以总结为形如y=ax²+bx+c(a≠0,且a,b,c都是常数)的式子,都是二次函数。这也是二次函数的一般式(次数从高往底写)。从概念上理解,“二次函数”中的“二次”指的是“自变量x的最高次数是2次”,“函数”指的是y是x的函数,y用含x的式子来表示。可以类比“一元二次方程”中的“一元”指的是一个未知数x,“二次”指的是x的最高次数。对比“一次函数”来理解。一次函数的一般式是y=kx+b(k≠0,且k,b是常数),二次函数正好是一次函数的升级,自变量次数升高了一次,就变成了二次了。所以二次函数一般式就写成y=ax²+bx+c(a≠0,a,b,c是常数),所以也把a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c常数项。

2、学会结合图象研究二次函数

2.1 y=ax²(a≠0)的图象性质

a>0开口向上,先减小后增大,有最小值;

a<0开口向下,先增大后减小,有最大值;

|a|越大,开口越小,|a|越小,开口越大;

对称轴是y轴;

顶点是原点

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y=ax²+k(a≠0,a,k是常数)的图象性质

顶点变成了(0,k)

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2.3 y=a(x-h)²(a≠0,a,h是常数)的图象性质

顶点变成(h,0)对称轴变成x=h

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2.3 y=a(x-h)²+k(a≠0,a,h,k是常数)的图象性质

顶点变成(h,k)对称轴变成x=h

数学二次函数怎样才能学好?

3、找到二次函数的图象平移规律

3.1 y=ax²→y=ax²+k上下移动k>0,向上移动k个单位k0,向右平移h个单位h<0,向左平移了h个单位口诀 “加向左减向右,左加右减”3.3 y=ax²→y=a(x-h)²+kk决定上下平移h决定左右平移顶点(0,0)→顶点(h,k)

4、自己要会画二次函数的大致图象

4.1 描点法4.2 五点作图法先确定开口方向再确定与y轴的交点再确定与x轴的两个交点x1和x2确定顶点式的顶点坐标(h,k)

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5、二次函数的解析式的三种表示方式

5.1 一般式已知函数图象上任意三点设y=ax²+bx+c(a≠0,且a,b,c都是常数)a,b同号,对称轴在左边;a,b异号,对称轴在右边。简称“同左,异右”c是抛物线与y轴的交点5.2 顶点式已知函数图象的顶点坐标和一个普通点设y=a(x-h)²+k(a≠0)5.3 交点式(两根式,零点式)已知函数图象与x轴的两个交点和一个普通点设y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

6、二次函数与一元二次方程的联系

二次函数与x轴有两个交点,ax²+bx+c=0,△>0二次函数与x轴只有一个交点,ax²+bx+c=0,△=0二次函数与x轴没有交点,ax²+bx+c=0,△<0

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二次函数是初中三年级数学,也是中考重难点,压轴题必考,所以二次函数从来都是重点。

如何去学习二次函数,我觉得要讲究一定的规律

二次函数考点无非是是二次函数的解析式,图像及性质,及二次函数与一次函数,反比例函数,及平面图形相结合的题目。

二次函数的解析式求法有1.待定系数法,只要找到函数图像上的三个点的坐标代入到函数解析式中,求出参数即可。2.顶点式,将函数顶点及与纵坐标的交点代入到解析式中即可求出系数3,两点式,二次函数与横坐标的交点是与之相关的一元二次方程的两个实数解。

二次函数的图像是一条抛物线,a决定的是抛物线开口方向,a>0时开口向上,a<0时开口向下,抛物线的对称轴是有a,b决定的,对称轴x=-b/2a,抛物线与纵坐标轴的纵坐标等于c.

二次函数图像的性质为当开口方向向上时,抛物线在对称轴的左边y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而变大,当开口方向向下时,在对称轴的左边y随x的增大而增大,在对称轴的右边,y随x的增大而减小。

二次函数与一次函数的交点坐标为联立一次函数与二次函数的解析式求一元二次方程组的解。


理解二次函数的基本概念、三种解析式与解析式的求法

理解概念是学好二次函数的前提,毕竟考试考查也是重要考点,二次函数的学习可以类比一次函数与反比例函数的学习,这样就更容易入手;解析式的三种表达式与解析式的求解方法,这些都需要强大的理解力.
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二次函数的图像,心中有图,做题不慌

理解二次函数图像,一般在开口方向,对称轴,最值,与Y轴交点,与X轴交点等方面进行考查 ,能够快速画出二次函数的图像,能够根据图像推导系数的符号与大小等;加强数形结合的应用.

一元二次方程\二次函数\一元二次不等式,三者联系密切,需重点关注

学好二次函数不只是为中考作准备,更是为高中学习打基础,高中的学习中,一元二次不等式及二次函数的分类讨论问题是最最觉见的问题,很多问都要用到这三者的联系,所以学好二次函数是为高中学习打好基础!!


二次函数我没记错的话应该是初三的知识,也是初中数学为数不多的难上手的地方,另一个陕西这边是圆的实际应用问题,其他省我不了解。

一开始学二次函数的时候我也感觉很难,各自图像需要去记忆,后来慢慢就好了,学二次函数首先要把基本式搞清楚,然后去把最值,图像的位置搞清楚,从基本上向哪里变化要分得清,其他的一些例如左同右异这些从题里摸索就好了。

我记得陕西二次函数一般在24题,二次函数考点一般是和一次函数结合在一起,求相似三角形,全等三角形,或者是给量算几个平行四边形,这些都要大量的练题才能做到正确率,速度跟得上。

我看了一下时间,现在已经是四月,应该是初三的末期,区市检测也应该考了,二次函数这个阶段,做题失误还是很正常的,需要适应。我一二检二次函数都没有拿到满分,问题出在了做题改错后没用去更深层的去理解,认为简单的改错做题多就行了。

对于我现在来看,二次函数还是初中简单的知识,难的只有圆的实际应用问题,哪里对逻辑推理以及思维变换运用非常高。希望你早日克服二次函数,相信自己。


如果把初中数学比作金字塔,那么二次函数就是金字塔尖那颗耀眼的明珠。

概述:

无论从重要性、难度、复杂性,还是从趣味性、思想性、使用价值方面讲,二次函数都是初中数学的顶峰。展望高中数学,二次函数就像一个幽灵,无处不在,凡可以和最值、取值范围、复合函数、图像变换等方面知识产生联系的地方,都可以扯上二次函数,都可以落脚到受限定义域下求二次函数的最值问题。

数学二次函数怎样才能学好?

学习二次函数,需要解决以下几个问题:

一是函数的定义:

函数是一种关系,是两个变量之间的关系,是两个变量之间的动态恒等关系,要理解这两个变量之间的互相牵制、互相依存性。

二是平面直角坐标系与函数之间的关系:

平面中本无坐标系,是人们为了实现点线面的数字化,而在平面中建立的一个数字化系统,是人造工具,不是客观存在。在这种系统中,点有了坐标,线有了方程,函数解析式与图像的对应关系也是由此而生。

然后要理解x在坐标系的变化如何引起y的变化(对图像上动点的动态理解),或者是在坐标系中,x和y是如何对应的(对点的坐标的静态理解)。

三是二次函数的图像:

列表、描点、连线,是研究函数图像的最基础方法,千万不要忽视。要理解二次函数图像的性质是怎么来的,是什么样的,是怎么随着三个系数变化的。

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四是三个系数与函数图像标志性特征之间的关系:

主要指系数和开口方向、对称轴、定点、与x轴交点、与y轴交点之间的关系。

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五是二次函数单调性、对称性应用:

这是二次函数最重要的两个性质,应用最为广泛,考查也最为密集。

数学二次函数怎样才能学好?

前五种类型问题是基础问题,设计题目比较简单,一般有求二次函数解析式、求最值、求点坐标、求线段长、求不等式解集、求参数值(或范围)等等。

六是二次函数与一次函数共居坐标系的各种关系:

涉及坐标轴、直线、抛物线之间的相对位置关系、交点坐标、弦长以及组合图形的面积问题。函数与方程(组)的思想是解决这类问题的主要思想。

七是动点问题:

动点引起动线,动线引起组合图形面积的变化,于是产生了线段长、图形面积的范围、最值问题,以及特定特征图形的顶点坐标问题。这也是中招压轴题的常见招数。分类讨论是解决这类问题的主要思想。

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八是图像变换:

主要涉及参数变换、对称变换(对称轴可以使坐标轴,也可以不是坐标轴),

绝对值变换(自变量加了绝对值、解析式加了绝对值)等,这类问题对称变换的涉及到的对称轴一般是坐标轴。数形结合思想是解决这类问题的主要思想。

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九是解不等式:

求交点横坐标是关键,利用数形结合解不等式。

解决以上九个问题,二次函数无虞。


空间专栏里有二次函数的中考压轴题讲解,有兴趣的可以去了解一下!

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学好二次函数,是初三特别重要的两个内容之一,另一个是三角形相似。

学好二次函数的方法,最重要的有如下几点:

数学二次函数怎样才能学好?

首先,对教材中的知识点,要精熟。

比如:

一般式与顶点式的互化,尤其是一般式通过配方法得到顶点式,这里的配方法就要精熟。

从二次函数最简单形式,到最一般形式的平移变换。

y=ax²上下平移→y=ax²+c;

y=ax²左右平移→y=a(x-h)²;

y=ax²上下左右平移→y=a(x-h)²+k。

剩下的就是可以用一般式化为顶点式,加以完全解决了。

对其中的平移过程,以及图像的画法,以及由此得到的函数性质:

a>0时,开口向上,x<-b/2a时,y随x的增大而减小,x<-b/2a时,y随x的增大而增大,x=-b/2a时,y有最小值(4ac-b²)/4a

a<0时,开口向下,x<-b/2a时,y随x的增大而增大,x<-b/2a时,y随x的增大而减小,x=-b/2a时,y有最大值(4ac-b²)/4a

这些都是要精熟的内容。

数学二次函数怎样才能学好?

精熟如上知识点,只是基础中的基础,还有许多内容,需要了解并掌握后,并加以熟练才有可能。

对二次函数的扩展知识点,也要心中有数,并了如指掌。

如何求二次函数解析式?通常是:

已知抛物线经过三点的三点式;

已知抛物线经过x轴两交点与另一个点的两点式;

已知抛物线的顶点和另一个点的顶点式(或者叫一点式)

数学二次函数怎样才能学好?

已知抛物线解析式,我们能解决哪些问题?

这个问题的解决,才是学好二次函数问题的核心问题。

最起码的,有如下一些问题,需要解决:

1.面积问题;

2.有关角度问题,比如相等,直角,特殊角等。

3.特殊三角形,四边形问题

等等,这些问题特别繁杂,不过,都在各地的中考题里了。

剩下的,你也就需要刷中考题了。